Aider moi svp je galère ...

1)
  ON=OA car O est le centre du cercle passant par O et A. Donc OAN est isocèle en O.
  De plus, I est le milieu de [AN], alors (OI) est la médiane issue de O de OAN.
  Et comme OAN est isocèle en O, alors (OI) est aussi la médiatrice de [AN], donc (OI) est perpendiculaire à (AN).

2)a) (je sais pas :$)

2)b) :

D'apres le theoreme de Pythagore

NB²= NA²+AB²
(2R)²= NA²+R²
NA²= (2R)²-R²
NA²= 4R²-R²
NA²= 3R²
NA= Racine 3R²
NA = (3R²)
NA = R3.

O et I sont des milieux dans NAB donc (OI)// (AB) mais (AB) est perp à (AN) par construction donc (OI)perp (IN) 

les angles ANB et AMB sont egaux donc dans ANB rectangle on a AB/2R=sin(30°)

on a donc dans ANB : AN²=(2R)²-R²=3R² donc AN=RV3