Bonjour ! Pourriez-vous m'aider pour cet exercice : Montrer que la fonction [tex]y(x)=cos(x)sin(x)[/tex] est solution de l'équation [tex]y''=-4y[/tex]. Merci d'

Bonjour,

y''(x) = (cos(x) . sin(x))''

⇒ y''(x) = (cos'(x) . sin(x) + cos(x) . sin'(x))'

⇒ y''(x) = (- sin(x) . sin(x) + cos(x) . cos(x))'

⇒ y''(x) = (cos²(x) - sin²(x))'

⇒ y''(x) = 2 cos(x) . cos'(x) - 2 sin(x) sin'(x)

⇒ y''(x) = -2 cos(x) . sin(x) - 2 sin(x) cos(x)

⇒ y''(x) = -4 cos(x) . sin(x)

⇒ y''(x) = -4 y(x)

On en déduit que y(x) = cos(x) . sin(x) est une solution de l'équation différentielle y" = - 4y